有创新性的数学高考题(高三数学创新题)

数学是培养创新能力的重要途径.数学是研究数量关系和空间形式的学科，是思维的学科，对培养人的思辨能力、科学精神等方面有着重要的作用，而思辨能力和科学精神正是发展学生创造力的必备要素.数学中充满了创造，整个数学史就是一部创造史，可以说，没有创造就没有数学．[1]因此，数学对培养人的理性思维和创新能力具有巨大作用,正如《义务教育数学课程标准 (2011年版 )》(下文简称《课程标准》)所说“要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”[1]数学教育与创新密切相关.《课程标准》把“创新意识”确定为数学教学的十大核心概念之一，强调“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.”[2]《普通高中数学课程标准（2017年版）》(下文简称《标准》)指出：数学教育承载着培养学生创新意识的任务，要促进学生实践能力和创新意识的发展.[3] 创新意识表现为：对新颖的信息、情境的设问，能选择有效的方法和手段分析、处理信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，并创造性地解决问题.[4]创新作为第一动力，高考命题也应体现这一导向.[5]高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学必须重视对学生创新意识的考查.[5]创新成为了历年高考新的热点和亮点.高考命题创新体现在四个方面：试题题型创新，试题内容创新、命题理念创新和问题解答方法创新.[5]由此，高考创新型试题成为评价学生创新能力的重要题型.所谓高考创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查的试题.[6]本文重点评析近年高考创新型试题的六大类型：立德树人型、趣味逻辑型、公式证明型、问题推广型、高等背景型、活动经验型.一、立德树人型立德树人,简言之,即建立德行,为后人树立榜样,培养人才.党的十九大报告明确提出“落实立德树人根本任务.”在教育部制定的落实立德树人根本任务的配套文件《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中指出：“全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，加强社会主义核心价值体系教育，完善中华优秀传统文化教育，形成爱学习、爱劳动、爱祖国活动的有效形式和长效机制，增强学生社会责任感、创新精神、实践能力.”[1]数学教育应该而且可以发挥“数学教学具有的德育功能”.[6]通过德育渗透，培养人，塑造人.近年高考命题坚持立德树人的基本导向，命制了一系列立德树人型试题，意在通过德育渗透，培养学生良好的道德品行,可谓是高考命题中的独特创新.评析：本例以哥德巴赫猜想为载体，既凸显了我国在哥德巴赫猜想研究上的领先地位，更对普及数学家陈景润积极研究世界性难题并取得了巨大成就的故事有积极意义，这对育人有益：一方面，可以弘扬中华优秀文化，增强文化自信；另一方面，可以培养学生的爱国主义情怀，增强学生社会责任感，引导学生形成正确的世界观、人生观、价值观.本例借助数学文化，增强文化浸润，体现育人导向，育人于无声无息之中.二、趣味逻辑型《现代汉语词典》对逻辑的解释是思维的规律.《辞海》对逻辑的解释是研究思维形式及其规律的科学.逻辑是创造的起点.趣味逻辑型试题是指含有有趣情境、考查学生逻辑知识的试题.趣味逻辑型试题为考生营造轻松的氛围，给人的印象是推理有趣、推理好玩，推理的过程思维量大，思维品质要求高，但几乎不需要算，趣味逻辑涉及到的推理一般具有趣味性、逻辑性、思考性、挑战性和智慧性.[8]此类试题主要考查学生阅读能力、抽象能力和推理能力：阅读提取有用信息——抽象成图表或条件推理关系——推理得到结论.解答趣味逻辑型试题的常见方法有：代入法、假设法、排除法、找突破口法、图表法等等.试题涉及的常见题型有：真假型、排序型、匹配型等.趣味逻辑型试题是高考数学命题的一种创新,既为考生紧张的状态开辟了休憩的驿站，也拓宽了考生的视野，还让考生真切感受到逻辑就在身边，逻辑离我们的生活是那么近.例2（2017年全国II卷理科第7题）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩评析:本例为趣味逻辑型试题的经典案例：以学生询问成绩为素材，展示的情景贴近生活实际，与儿时的脑筋急转弯问题有较大的相似之处，呈现一定的趣味性和推理性，这在一定程度上使考生紧张的情绪得到放松，体现了命题者对考生的人文关怀.同时，老师和学生的对话看似平淡，实则蕴含思辩性和逻辑性，对学生的逻辑思维、推理能力等有所考查.三、公式证明型公式证明型试题是指直接将教材中公式证明设置为高考试题.该类试题是命题形式上的一大创新，旨在引导中学数学教学回归教材、重视教材.近20年来，2010年四川卷首次开发公式证明型试题，当然开发的过程中也经受了勇气和信心得考验.据四川命题组消息称，2010年四川卷命制公式证明型试题时引发了命题者们的激烈争论：绝大部分命题者认为命制公式证明型试题是命题创新，值得提倡；部分命题者认为此类题型从未考过（近20年未考过），不利于高考命题的稳定，经过激烈的辩论，最后还是决定选用公式证明型试题，但略有变化的是设置为两个小题：第一问证明公式，第二问设置为公式的应用.我们揣测，这样的设置是对该题型的一种试探与尝试.实践表明，公式证明型试题是一种成功的创新型试题，值得坚持，这从2011年高考陕西卷文理科第18题考“叙述并证明余弦定理.”、2012年高考陕西卷理科第18题考“三垂线定理及逆定理的证明”、2013年高考陕西卷理科第18题考“等比数列前m项和公式的推导”可以得到印证.评析: 本例要求证明教材中的两角和的正余弦公式，属于命题形式上的创新.这打破了一直以来不考书上命题、公式、法则等证明的命题模式.实际上，试题本身并不难，但这一“首发效应”使得许多考生手足无措，据阅卷场反馈的信息来看，2010年四川近50万考生仅有70人左右得满分，这让我们深刻反思教学中对教材的忽视，无疑对死记硬背、机械模仿的学习方式敲响了警钟.对改变教学活动重心，引导教学回归教材、关注知识的形成过程、发展过程、理解与内化过程有导向作用.从教学导向这一层面可以充分看出开发公式证明型试题的价值所在.四、问题推广型数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，进行适当变化，使得到的新命题为真.[9]张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题.”[10]问题推广型试题是指将已有问题的条件或结论推广到更一般情形的试题.从定义上看，问题推广型试题显然是一种典型的创新型试题.创新体现在两个方面：一是试题设置上打破了传统解答（或证明）已知问题的模式，二是推广的过程就是创新的过程.命题推广型试题有利于培养学生的问题意识，这对认识问题的本质有益、对培养学生完善的认知结构有利.同时，有利于学生体会研究的一般思路：研究特殊问题→提出一般问题→解决新问题.评析:本例第（Ⅲ）问打破了传统证明已知结论的模式，需要学生先提出猜想再证明，这在2012年前的高考命题和平常的模拟训练中几乎没有涉及，是一类典型的结论开放型试题，呈现高度的创新性.解答时，首先需要学生根据（Ⅱ）条件中变元的个数、非负性、和的特殊性及结论中变元的位置、运算的变化（幂的积到积的和），初步判断变元个数、变元和的值对结论的影响，进而模仿已有结论猜想更一般的命题，这对培养学生观察能力和提问意识尤为重要；其次，学生需要证明猜想的正确性，这一过程学生往往需要将已有特殊情形的证明方法迁移到一般的情形中，这对学生的迁移能力要求较高.总之，解答问题推广型试题的充满了创造的成分.无独有偶，2012福建卷理科17题要求学生将五个特殊的三角式子推广为三角恒等式并证明.特别指出，尽管2013年到2018年的高考命题中没有命制问题推广型试题，但是我们认为该题型必将成为未来高考命题创新点的焦点. 五、高等背景型高等背景型试题是指以高等数学知识、方法和问题为素材命制的试题.该类试题的创新体现在三个方面：一是命题素材创新，即拓宽了命题素材选取范围，打破了源于教材的传统；二是试题背景创新，即试题含有丰富的高等数学背景；三是解答方法创新，即可用初等方法，也可以运用高等数学知识解答.实践表明，高等背景型试题具有积极作用：凸显能力立意的命题原则；强化中学数学与高数知识间的衔接；展示新颖的数学背景；丰富试题的内涵；拓宽试题解法；考查学生创新能力和创新意识.[11] 该类试题为学生个性发展、超前学习、创新创造提供了更为广阔的空间. 是基于高等背景反向构造而来，具体设置过程可以参见文[5]，这一过程充分展示了高等知识在命题中的指导性；二是解答层面，运用初等解法解答本例涉及多次构造，相当困难，高等解法体现了试题解答的多样性和创造性.据悉，某省理科近30万考生运用初等解法得满分的学生几乎没有，而运用高等解法得满分的学生不到20人，这表明高等背景型试题为学有余力的学生提供了创新、创造的空间.顺便指出，高考中高等背景型试题很多，比如：2018年全国Ⅰ卷理科21题以拉格朗日中值定理为背景，2017年全国Ⅲ卷理科21题以级数为背景；2016年四川卷理科21题以洛必达法则为背景，等等.六、活动经验型《课程标准》将“双基”扩展为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.[2]《标准》明确指出：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”[3]其中，基本活动经验是指数学基本活动经验，是学生在经历数学活动的过程中获得的数学体验和心理认知，既包含数学活动中获得的一般学科方法经验，也包含学生通过自我思考积累的个体感受.[12]具体来讲，基本数学活动经验包括基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验（归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验等）；发现问题、提出问题、解决问题的经验.[13]基本数学活动经验具有个体性、情境性、内隐性、过程性、动态性、客观性、综合性、社会性等特征.[14]活动经验型试题是指以考查数学活动经验立意的试题.此类试题不仅是对传统命题考查“双基”这一定势的发展，而且对学生积累数学活动经验有导向功能.创新型试题作为高考的一种重要题型，在人才选拔、立德树人、思维发展、教学导向等方面具有积极功能.因此，我们相信在未来的高考命题中会开发更多类型的创新型试题.参考文献 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